Vostochnieleta.ru

Косоватый ресурс

Метки: Теорема котельникова на пальцах, теорема котельникова картинки.

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты :

Содержание

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и, обычно, имеют во временно́й характеристике разрывы. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают 2 следствия:

  • Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой , где  — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.
  • Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда

где  — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .

История открытия

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу 1928 года «Certain topics in telegraph transmission theory», в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Купфмюллер получил тот же результат.[1] О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом[2][3]: «Любую функцию , состоящую из частот от 0 до , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 (через 16 лет) году доказал Клод Шеннон[4], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет В. А. Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов.[5] Исторические разыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась в математическом плане многими учеными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем.[6]

Развитие теоремы

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов.[7][8] Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся характеристическими функциями прямоугольных импульсов, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции с финитным спектром на основе преобразований Фурье атомарных функций[9]:

где параметры удовлетворяют неравенству , а интервал дискретизации

См. также

Примечания

  1. K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation)
  2. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук : Журнал. — 2006. — № 7. — С. 762-770.
  3. Спектры и анализ / А. А. Харкевич. — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89
  4. C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.
  5. К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича
  6. 10.1109/5.993400
  7. Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.
  8. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.
  9. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.

Литература

  • H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
  • Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.


Tags: Теорема котельникова на пальцах, теорема котельникова картинки.